Eeuwig Gouden Band Een Eeuwig Gouden Band

Hofstadter geeft een briljante en zeer oorspronkelijke interpretatie van de drie genieën, de wiskundige Gödel, de graficus Escher en de componist Bach. Het boek werd een bijbel voor computercracks genoemd en een erudiet en leerzaam boek voor niet-specialisten. Hofstadter ontving voor Gödel, Escher, Bach de Pulitzerprijs. Het boek is een inter

nationale bestseller en beïnvloedde een generatie filosofen, computergekken, wiskundigen en taalkundigen.

Rudy Kousbroek noemde het boek ‘werkelijk meeslepend, zo oorspronkelijk en stimulerend’. Een musico-logisch offer. Het boek begint met het verhaal van Bachs Musikalisches Opfer. Bach bracht een onverwacht bezoek aan koning Frederik de Grote van Pruisen. Er werd hem verzocht op een thema dat de koning hem opgaf te improviseren. Zijn improvisaties vormden de grond. slag voor dit meesterwerk. Het Musikalisches Opfer en zijn geschiedenis vormen een thema waarop ik door het boek heen ‘improviseer’. Daardoor antstaat een soort ‘Metamuzikaal Offer’. Zelf-referentie en de wisselwerking tussen verschillende niveaus bij Bach worden behandeld. Dit leidt tot een bespreking van overeenkomstige ideeën in de prenten van Escher en vervolgens van de Stelling van Gödel. Een kort overzicht van de geschiedenis van de logica en de paradoxen wordt geboden als achtergrond voor de Stelling van Gödel. Dit leidt tot mechanisch redeneren en computers en de discussie rond de vraag of Artificiële Intelligentie mogelijk is. Ik sluit de Inleiding af door te vertellen hoe dit boek ontstond - vooral waarom ik Dialogen gebruik en hoe ik ertoe kwam ze te schrijven. Driestemmige Inventte. Bach schreef vijftien driestemmige Inventionen. In deze driestemmige Dialoog worden de Schildpad en Achilles - de hoofdfiguren in de Dialogen - ‘verzonnen’ door Zeno (zoals dat ook werkelijk het geval was, ter illustratie van Zeno's bewegingsparadoxen). Zeer beknopt geeft deze Inventie al de sfeer weer van de Dialogen die nog zullen volgen. Hoofdstuk l: De MU-puzzel. Er wordt een eenvoudig formeel systeem geïntroduceerd (het MIU-systeem) en om vertrouwd te raken met formele systemen wordt de lezer aangemoedigd een puzzel op te lossen. Er komt een aantal fundamentele begrippen aan de orde: streng, stelling, axioma, afleidingsregel, afleiding, formeel systeem, beslissingsprocedure, binnen/buiten het systeem werken. Tweestemmige Inventie. Bach schreef ook vijftien tweestemmige Inventionen. Deze tweestemmige Dialoog werd niet door mij geschreven maar door Lewis Carroll, in 1895. Carroll leende Achilles en de Schildpad van Zeno en ik op mijn beurt leende ze van Carroll. Het onderwerp is het verband tussen redeneren, redeneren over redeneren, redeneren over redeneren over redeneren, enzovoort. In zekere zin is de Dialoog een tegenhanger van Zeno’s paradoxen over de onmogelijkheid van beweging, en door gebruik te maken van eindeloze herhaling lijkt de Dialoog aan te tonen dat redeneren onmogelijk is. Het is een schitterende paradox en later in het boek wordt er enkele malen naar terugverwezen . Hoofdstuk Il: Betekenis en vorm in de wiskunde. Er wordt een nieuw formeel systeem (het pi-systeem) geïntroduceerd, dat nog eenvoudiger is dan het MIU-systeem van Hoofdstuk 1. Hoewel ze aanvankelijk betekenisloos leken te zijn, blijken de symbolen plotseling betekenis te dragen dank zij de vorm van de stellingen waarin ze voorkomen. Deze onthulling is het eerste belangrijke inzicht in betekenis: namelijk dat betekenis diepgaand verband houdt met isomorfie. Er worden dan verschillende onderwerpen met betrekking tot betekenis behandeld, zoals waarheid, bewijs, manipulatie van symbolen en het ongrijpbare begrip ‘vorm’. Sonate voor Achilles-solo. Een Dialoog die de sonates van Bach voor vioolsolo imiteert. Hierin is Achilles de enige spreker, aangezien de Dialoog een transcriptie is van de ene kant van een telefoongesprek. Aan de andere kant van de lijn bevindt zich de Schildpad. Hun gesprek gaat over de begrippen ‘motief’ en ‘achtergrond’ in verschillende contexten — bijvoorbeeld in Eschers kunst. De Dialoog is zelf een voorbeeld van dit onderscheid omdat de woorden van Achilles een ‘motief vormen en de woorden van de Schildpad - impliciet besloten in wat Achilles zegt - een ‘achtergrond’. Hoofdstuk II: Motief en achtergrond. Het onderscheid tussen motief en achtergrond in de kunst wordt vergeleken met het onderscheid tussen stellingen en niet-stellingen in formele systemen. De vraag: Bevat een-motief noodzakelijkerwijze dezelfde informatie als zijn achtergrond?’ leidt tot het onderscheid tussen recursief, opsombare verzamelingen en recursieve verzamelingen. Contracrostipunctus. Deze Dialoog staat in het boek centraal want hij bevat een aantal parafrasen van de naar zichzelf verwijzende constructie van Gódel en van zijn Onvolledigheidsstelling. Een van de parafrasen van de Stelling luidt: Voor iedere grammofoon is er een plaat die hij niet kan afspelen” De titel van de Dialoog is een kruising tussen de woorden ‘acrostichon’ en ‘contrapunctus’, een Latijns woord dat Bach gebruikte om er de vele fuga’s en canons die sarnen zijn Kunst der Fuge vormen mee aan te duiden. Er worden enkele expliciete verwijzingen naar de Kunst der Fuge gemaakt. In de Dialoog zelf zijn enkele acrostische grapjes verborgen. Hoofdstuk IV: Consistentie, volledigheid en meetkunde. De voorafgaande Dialoog wordt uitgelegd, voor zover dat in dit stadium mogelijk is. Dit voert ons terug naar de vraag hoe en wanneer symbolen in een formeel systeem betekenis krijgen. De geschiedenis van de Euclidische en niet-Euclidische meetkunde wordt verteld, als een voorbeeld van het ongrijpbare begrip ‘ongedefinieerde term’. Dit leidt tot gedachten over de consistentie van verschillende, elkaar wellicht beconcurrerende’ meetkundes. Door deze uitleg wordt het begrip ongedefinieerde term opgehelderd en het verband tussen ongedefinieerde termen, waarneming en denkprocessen wordt verder overwogen. Klein harmonisch labyrint. Dit is gebaseerd op een orgelwerk van Bach met dezelfde naam. Het is een speelse inleiding tot recursieve - dwz. ingebedde = structuren. De Dialoog bevat verhalen in verhalen. De raamvertelling eindigt niet zoals je zou verwachten, maar heeft een open einde.