Darstellungs- Und Konvergenzsätze Für Quadraturverfahren Auf C Und Cm

Diese Arbeit liefert ein Beispiel fur die Anwendung der Funktionalanalysis auf die Theorie der Quadratur. Im ersten Abschnitt geben wir eine Erweiterung des Darstellungssatzes von V. M. TscHAKALoFF 19] fur positive, lineare Funktionale auf endlich dimensionalen, linearen und normierten Raumen. Unter schwacheren Voraussetzungen als in V. M. TscHA KALOFFS Darstellung wird die Existenz von interpolatorischen Quadraturverfahren mit positiven Gewichten bewiesen. Ferner zeigen wir die Existenz von konvergenten Quadraturverfahren, die fur Funktionen aus einem in C a, b] abgeschlossenen System von 1. u. Funktionen exakt sind. Im dritten Abschnitt untersuchen wir interpolatorische Funktionale fn* naher und stellen mittels der Interpolationstheorie in linearen, normierten Raumen 3] einen Charakteri sierungssatz auf, der fur die Konstruktion von interpolatorischen Quadraturverfahren auf C und Cm von Bedeutung ist. Ein entsprechender Satz fur interpolatorische fn* vom GAussschen Typ (s. Definition 2), der das Ergebnis fur die GAUSS-JACoBI-Quadratur verfahren enthalt, wird ebenfalls in diesem Abschnitt bewiesen. Die Linearitat der Quadraturverfahren auf C ist dafur verantwortlich, dass es zu jedem konvergenten Quadraturverfahren auf C eine stetige Funktion gibt, fur die das Ver fahren sehr langsam konvergiert (s. Abschnitt 4). Aus demselben Grunde ist es un moglich, eine Einschliessungseigenschaft, wie sie etwa bei RlliMANN-Integralen durch die Ober- und Untersummen gegeben ist, bei konvergenten Quadraturverfahren auf C zu erhalten. Die Konvergenzsatze fur Quadraturverfahren auf C und Cm leiten wir einheitlich aus dem Darstellungssatz von F. RIESZ (C*) und aus dem entsprechenden Satz fur Cm* (A. SARD) in Verbindung mit dem Satz von BANACH-STEINHAUS he